* Was ist GAP ?
* GAP-Homepage <http://www.gap-system.org/>
* Manual & Tutorial: <http://www.gap-system.org/Doc/manuals.html>
* Frei runterladbar für Windows und andere Systeme

* GAP starten
* GAP beenden (quit; ctrl-c; ctrl-d);


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* Rechnen in GAP:
	(9 - 7) * (5 + 6);
	12345/25;
	3^132;
	17 mod 3;
	Factorial(20)^2;
	Gcd(1234, 5678);
	IsPrimeInt(234237);
	FactorsInt(234237);

* Fehlerchen:
	Semikolon vergessen:
	6*7
	Syntaxfehler:
	6*(7+1;

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Gruppen eingeben, damit rechnen

	gap> ## Permutationen werden in runden Klammern eingegeben, z.B.
	gap> x := (1,2);
	(1,2)
	gap> y := (2,3);
	(2,3)
	gap> ## und mittels * multipliziert (hintereinanderausgefuehrt)
	gap> x*y;
	(1,3,2)

Permutation auf Zahl wirken lassen mit ^ (NICHT mit *):

	1 ^ (1,2);
	1 * (1,2);

* CyclicGroup; SymmetricGroup; AlternatingGroup; DihedralGroup
	G0 := CyclicGroup(6);
	G1 := SymmetricGroup(3);
	Size(G1);
	G2 := AlternatingGroup(3);
	Size(G2);
	G3 := DihedralGroup(6);
	Size(G3);

* Permutationsgruppen allgemein
	G := Group((1,2,4), (2,5,6));
	Size(G);
	G = AlternatingGroup(5);

* Arbeiten mit Gruppen
	Size(G);
	GeneratorsOfGroup(G);
	IsAbelian(G);
	Centre(G);

* Arbeiten mit Elementen:
	Order(G.1);
	Order(G.1 * G.2);
	Order(G.1 ^ G.2);
	Centralizer(G, G.1);

* Untergruppen; Index
	H := Subgroup(G, [ (1,2,4) ]);
	Size(H);
	Normalizer(G, H);
	IsSubgroup(G, H);
	IsNormal(G, H);
	IsSubgroup(SymmetricGroup(6), G);

	ConjugacyClass(G, (1,2,4));
	ConjugacyClasses(G);
	ConjugacyClassSubgroups(G, H);
	ConjugacyClassesSubgroups(G);


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* Hilfesystem, z.B.:
	?SymmetricGroup
	?Size
* Pfeil hoch / runter
* Tab

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Eigene Programme
* Listen
	[ 12, 1, 7, -4 ];
	[7..10];

* Ausgabe mit Print & Display
	Display("Hallo");
	Print("Hallo");
	Print("Hallo\n");
	i := 6;
	Print("Hallo: ", i, "\n");

* for-Schleife
	for i in [7..10] do
		Display(i);
	od;

* while:
	i := 7;
	while i > 1 do
		Print("i = ", i, "\n");
		i := i - 1;
	od;

* if
	if i >= 2 and i <= 4 then
		Print("x");
	fi;

	if i < 7 or i > 12 then
		Print("a");
	elif i = 9 then
		Print("b");
	else
		Print("c");
	fi;

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* BahnStab-Algorithmus implementieren
* Kommentare mit #
* Datei einlesen
	Read("bahnstab.gap");
* Testen:
	a := (1,2,3,4,5,6,7,8,10,11);
	b := (3,7,11,8)(4,10,5,6);
	G := Group(a, b);
	
	Größe von G bestimmen durch iteriertes Stabilisatoren-Berechnung!
	(Siehe Abschnitt 1.6.3)

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* mit freien Gruppen und endliche Präsentierungen arbeiten
	F := FreeGroup(2);
	rels := [F.1^2, F.1^F.2*F.1];
	G := F / rels;

* Nebenklassenabzählung
	H := Subgroup(G, [G.2^2]);
	ct := CosetTable(G, H);;
	Display(TransposedMat(ct));

* abelsche Invarianten ausrechnen:
	AbelianInvariants(G);

* Abgeleitete Gruppe G':
	DerivedSubgroup(G)


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	Matrizen: Listen von Listen
	A := [[1,1,2],[2,3,4]];
	B := [[5,6],[7,8]];
	Determinant(B);
	SmithNormalFormIntegerMat(A);

	a := [[-1,0],[0,1]];
	b := [[1,1],[0,1]];
	G := Group(a, b);
	
	IsSubgroup(GL(2,Integers), G);
	IsSubgroup(SL(2,Integers), G);

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